和数学家一样思考的10种方法(前5)

一、质疑一切

在我看来,数学的真正美妙的地方之一在于它可以被检验;你不必把任何人的话当做圣经。如果有人给你说一些事情是真的,那你可以让他证明;最好是,如果你真的想同数学家一样思考,那你可以尝试主动证明它。不要等着有人拿勺子喂你;

对于一些人的话,你的反应应该是怀疑,并且试图去找到一个反例;即便是真的,这种对你的锻炼也是有益的,同时也能帮助我们对事情的判断力;(注意,在真实生活场景中过度这么做可能会失去朋友 —  一直挑别人的刺,谁都会不爽)

某报纸的一份来信说时间旅行从逻辑上是不可能的,因为如果时间旅行是可能的,那我们是会看到很多来自未来的人。我有一些想法来反驳这个逻辑:或许时间旅行只允许我们穿越到过去某点时间(比人类历史还要长);或许时间旅行者不允许和我们交流;或许时间旅行有一个范围,能穿越的时间不超过一年,而时间旅行在数年后才出现(并且时间旅行的机器不能穿越)。

二、写下来

写下来?你可能会问,这跟和数学家一样思考有个啥关系。是这样的,语言是由一些论据构建的。高水平数学家的论据都是证明的形式(不仅仅是给出正确的数字答案)

学生通常看不到写下来的需要;他们常常说:’我来大学不是来写作文的’,’我已经知道正确答案了’,’你懂的’。他们的作业都是一些没有关系的符号堆砌但依然可以获取高分。但是,如果你想去理解数学并且思路清晰,通过写的练习可以迫使你对自己的观点想的更清楚。如果你不能正确的描述,那么很可能你并不是真正理解了你要表达什么。这是一个可以学习和发展自己技术的很好机会。其实写的一手好文章在任何领域都是很有用的技术。

[彩蛋:一个提高自己数学写作和思考的方式是学会恰当的使用隐含符号  =》]

三、试试逆?

语句A=>B是数学的核心,我们可以表述为如果A是真的,那么B就是真的;

A=>B的逆就是B=>A,例如:”如果我是丘吉尔,那我是英国人”的逆是”如果我是英国人,那么我是丘吉尔”;

这个简单的例子说明了,即便是一个语句是真的,那么其逆可能非真;可能真也可能非真,说之前要搞清楚;

一个好的数学家,当提出一个A隐含B的语句时,通常会思考”其逆为真么?”,把这个问题印到脑子里,作为你和数学打交道的工具;然后,其逆是否为真并不是很重要,关键是磨练数学的能力;

[说个题外话,通常人们会犯一个大错误,就是当A=>B时,认为如果A非真的,那么B也非真的;这是不对的,这个语句只是在说当A为真是会发生什么,并没有说A非真时的情况。现在可以像一个数学家一样思考一下,给一个例子。]

四、试着互逆

一条语句’A => B’ 的互逆是 ‘not B => not A’;

例如:
1)『如果我是丘吉尔,那么我就是英国人』的互逆就是『如果我不是英国人,那么我就不是丘吉尔』
2) 『如果我不是美国人,那么我就不是德克萨斯人』的互逆就是『如果我是德克萨斯人,那么我就是美国人』
3) 『x^2 – 4x – 5 = 0  => x >= -2』的互逆就是『x<-2 => x^2-4×-5 != 0』

A=>B的互逆命题和自身的真假惊奇的一致!也就是说,如果A=>B是真的,那么not A => not B就是真的,反之亦然。可以验证一下上面的例子。一开始可能很难在脑子里形成固有概念 – 其实大多数人都不相信;有一个著名的关于互逆的教育实验,叫做Wason的选择任务。可以看一看你是否能通过测试,只有不到10%的人通过了;

由于互逆经常用做证明,并且日常推理也经常搞错,所以你应该掌握。

五、考虑极端情况

面对一个命题,要在少量极端的假设情况下看看;如果需要的参数为0或者1会怎样?如果把需要的函数定义为f(x)=0会怎样?数据集为空呢?如果需要的序列为1,1,1,1。。。呢?直线或者圆会有什么结果?

这些例子可以帮我们更深刻的理解,意味着命题可以应用的场景;

考虑一个极端的例子『如果Y=X^2,Z=Y^2,所以Z != X^2』。貌似Y和Y^2一般场景下是真的,但其实不然,比如Y=1,当X=1的条件下;

用一个极端的例子说明下列原理是错误的:
原理:假设a,b,c,d是正整数,如果ab=cd,a=c,那么b=d;

想给出好的极端例子需要积累,因此需要平时注意收集,用到的时候信手捏来,有一个训练方法,想象你正在酣睡,突然大半夜有人把你摇醒说:快!给我一个X的好例子,快!X可以是群组、向量、函数等数学对象;

From: techug.com

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